RANGKAIAN LISTRIK

TEOREMA RANGKAIAN

Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik  dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Adabeberapateorema yang dibahas pada bab ini ,yaitu :

1. TeoremaSuperposisi (menjumlahkanarusataupuntegangan)
2. TeoremaThevenin (membukaresistansi R danmenghubungsingkat V)
3. Teorema Norton (menghubungsingkat R danmenghubungsingkat V)

Teorema Superposisi

Teorema superposisi ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier.

Rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx,

k = konstanta dan x = variabel.

Pada setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus dapat dihitung

dengan cara :

            Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya.

Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan teorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari n buah sumber yang bebasnya.

Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber independent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).

Analisa rangkaian dengan teorema superposisi

Rangkaian berikut ini dapat dianalisa dengan mengkondisikan sumber tegangan aktif/bekerja sehingga sumber arusnya menjadi tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit). Oleh sebab itu arus i dalam kondisi sumber arus OC  yang mengalir di R10Ω dapat ditentukan.

Kemudian dengan mengkondisikan sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit). Disini arus i dalam kondisi sumber tegangan SC  yang mengalir di R10Ω dapat ditentukan juga. Akhirnya dengan penjumlahan aljabar kedua kondisi tersebut maka arus total akan diperoleh.

Langkah-langkah teorema superposisi :

Prinsip superposisi adalah membuat masing-masing sumber tegangan berdiri sendiri kemudian mencari nilai parameter yang dicari (arus, tegangan di tiap-tiap resistor), kemudian menjumlahkan (superposisikan) sehingga didapat nilai pada saat dua atau lebih sumber tegangan bekerja dalam waktu yang bersamaan.

a.      Bila rangkaian terdiri dari dua sumber tegangan, maka masing-masing sumber dibuat bekerja sendiri-sendiri, atau jika sumber 1 aktif (ON), maka sumber lainnya non aktif (OFF). Non aktif di siniberartimembuatsumberlainterhubungsingkat (short circuit, SC). Demikianjugabilasumber 2 ON, makasumberlainnya OFF.

b.      Menentukan nilai parameter-parameter seperti : hambatan total rangkaian yang baru dan arus di setiap percabangan secara bergantian.

c.      Parameter yang diperoleh, kemudian dijumlahkan (superposisikan) sehingga diperoleh nilai dari rangkaian total (saat kedua sumber bekerja).

d.      Untuk mencari parameter yang lain berdasarkan hasil superposisi sangat dimungkinkan, misalnya tegangan di R1, R2 & R3.

Untuk memudahkan penggambaran, maka berikut diberikan langkah-langkah penyederhanaan :

Misalnya dari soal diminta untuk menentukan I1. I2, dan I3 dari rangkaian di bawah.

·       Bila V1 On, V2 off atau SC, maka analisanya sebagai berikut :

·       Bila V2 On, V1 off atau SC, maka analisanya sebagai berikut :

·       Superposisikan semua parameter yang telah diperoleh dari persamaan 1, 2, 3, dan 4.

                I1   =  Ia – Iy        (tanda – disini berarti Iy berlawanan tanda dengan asumsi arah I1)

                I2   =  (– Ib) + Ix  (tanda – disini berarti Ib berlawanan tanda dengan asumsi arah I2)

                I3   =  Ic + Iz        (tanda + disini berarti Ic & Iz searah dengan I3)

·       Hitung parameter-parameter yang lain bila memang diperlukan berdasarkan nilai superposisi tersebut.

Teorema Thevenin

Pada teorema ini berlaku bahwa :

            Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. 

Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkan seri dengan suatu resistansi ekivalennya.

Langkah-langkahTeoremaThevenin :

PrinsipTheveninadalahmembuka (open circuit)tahanan yang dicaridan men-SHORT CIRCUIT sumbertegangan.Kemudianmencaritegangan yang tejadipadabagianrangkaian yang terbukatersebutatau yang dikenaldenganTeganganTheveninnyalalumencaritahananpenggantinya.

a.      Tentukan komponen yang hendak dilepas, selanjutnya tentukan titik ujung bagian rangkaian yang dilepas.

b.      Tentukan berapa nilai tegangan pada bagian yang dilepas berdasarkan nilai tegangan input dari sumber tegangan sebelum dilepas.

c.      Setelah dilepas, maka yang menjadi sumber tegangan adalah Thevenin (atau pada bagian yang dilepas tadi). Sumber tegangan semula di-SHORT CIRCUIT, sehingga diasumsikan bahwa arus mengalir dari sumber Thevenin.

d.      Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dengan asumsi bahwa sumber tegangan Thevenin sebagai sumber tegangan bagi rangkaian dengan melihat percabangan-percabangan tiap-tiap resistor yang ada.

e.      Gambarkan rangkaian ekivalen dari rangkaian Thevenin seperti pada gambar di bawah dengan mensubstitusikan nilai parameter yang telah diperoleh sebelumnya.

Langkah-langkah teoreme Thevenin :

Tentukan nilai I2 pada rangkaian berikut dengan cara Thevenin :

·       Buka kedua ujung tahanan R_L sehingga rangkaian R_L dalam kondisi OPEN SIRCUIT (OC) seperti gambar berikut.

·       Dari gambar di atas, berlaku Hukum Ohm I, dimana tegangan terbagi dua, yaitu : V_R1 danV_R3.

S V     = 0

 V1     =  V_R1 + V_R3 

  V_R3        =            _, dimana V_TH = V_R3

                

·       Hubung singkat sumber V1 sehingga yang menjadi sumber tegangan adalah V_TH.

·       Tentukan tahanan pengganti Thevenin (R_Th) dengan memandang rangkaian dari arah VTh seperti gambar 2.7.

           

·       Pasang kembali RL yang sebelumnya dilepas untuk menggambarkan rangkaian ekivalen berdasarkan nilai parameter yang telah diperoleh sebelumnya.

·       Cari nilai I_L dengan cara :

      

·       Cari nilai V_L dengan cara :

      V_L =  I_L  *  RL

Teorema Norton

Pada teorema ini berlaku bahwa :

            Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. 

Tujuan teorema Norton adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan

membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu

tahanan ekivalennya.

Prinsip Northonadalah men-SHORT CIRCUIT tahanan yang hendakdicariparameternyadansumbertegangan.KemudianmencariarusNorthondengansumberarusNorthonsebagaisumberuntukmenentukantahananpenggantinya (tahanannorthonnya).

·       Tentukan komponen yang hendak dihubung singkat (di-SHORT CIRCUIT).

·    Tentukan berapa nilai tegangan pada bagian yang dilepas berdasarkan nilai tegangan input dari sumber tegangan sebelum dilepas.

·    Setelah di-SC, maka yang menjadi sumber arus adalah Northon (atau pada bagian yang di-SC). Sumber tegangan semula di-SHORT CIRCUIT, sehingga diasumsikan bahwa arus mengalir dari sumber Northon.

·   Tentukan rangkaian pengganti Northon dengan melihat percabangan-percabangan tiap-tiap resistor yang ada.

·  Gambarkan rangkaian ekivalen dari rangkaian Northon seperti pada gambar di bawah dengan mensubstitusikan nilai parameter yang telah diperoleh sebelumnya.

Misalnya rangkaian pada gambar 2.10 hendak dicari nilai I_L dan tegangan V_L­. maka langkahnya sebagai berikut :

·       Hubung singkat (SC) R_L seperti pada gambar berikut.

·       Tentukan parameter yang bisa dihitung, misalnya arus northon.

                  

·       Hubung singkat sumber tegangan V1, sehingga rangkaian menjadi :

·       Mencari tahanan pengganti Northon yang juga sama dengan tahanan pengganti Thevenin.

                        

                              

·  Menggambarkan rangkaian ekivalen Northon dengan mensubstitusikan semua nilai parameter yang diperoleh.

·       Tentukan arus dan tegangan pada R_L yaitu I_L dan V_L

A.RANGKAIAN LISTRIK KOMPLEK

Diketahui:

R1 = 1,4 Ohm

V = 1,5 V

rd = 0,1 Ohm

Ditanya: i = …..?

Jawab : Menerapkan hukum II Kirchoff.

i . R1 + i . rd + 1,5 V = 0

i . 1,4 Ω + i . 0,1 Ω + 1,5 V = 0

i . 1,5 Ω = – 1,5 V

i = – 1 A (negatif berarti arah arus terbalik)

B. KONSEP DASAR
1. jika tegangan pada elemen 6 V dan arus yang melewati terminal positifnya perhatikan pada grafik di bawah ini.Tentukan daya yang di serap elemen pada saat :
t = 1s
t = 2s
t = 4s

jawab :
a. pada saat t = 1s
P=V x t
P= 6x1
p= 6 watt

b. pada saat t =2s
P=VxI
P= 6x10
P= 60 watt

c. pada saat t= 4s
P=VxI
P=6x20
P=120 watt

2. Diketahui kurva arus terhadap waktu. Tentukan muatan total yang masuk ke elemen.

jawab :

Qtotal = q1 + q2

           = (i1xt1) +  (i2xt2)

           = (2 x 3) + (4 x 4)

           = 6 + 16

Qtotal = 22 coulomb

C.HUKUM OHM

Jika diberikan besar resistor R1 = 10 Ohm, R2 = 40 Ohm dan R3 = 120 ohm serta tegangan sumber baterai sebesar 12 Volt. Tentukan arus listrik yang mengalir pada rangkaian tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:

R1 = 10 Ohm

R2 = 40 Ohm

R3 = 120 Ohm

Vs = 12 Volt

Ditanya : Tentukan arus yang mengalir pada rangkaian tersebut?

Langkah 1 : Selesaikan terlebih dahulu resistor yang tersusun secara paralel (R2 paralel R3)

Langkah 2 : setelah R2 dan R3 di paralelkan maka diperoleh rangkaian R1 seri Rp. Dimana besarnya adalah

Rs = R1 + Rp = 10 Ohm + 30 Ohm = 40 Ohm

Langkah 3 : Gunakan Hukum Ohm untuk menentukan nilai arus rangkaian

V = I R

I = V / R

I = (12 Volt) / (40 Ohm) = 0,3 A

Jadi, besar arus yang mengalir pada rangkaian tersebut adalah 0,3 A

D.HUKUM KIRCHOFF

Pertanyaan: Berapakah I4?

Jawab:

Dari gambar rangkaian yang diberikan diatas, belum diketahui apakah arus I4 adalah arus masuk atau keluar. Oleh karena itu, kita perlu membuat asumsi awal, misalnya kita mengasumsikan arus pada I4 adalah arus keluar.

Jadi arus yang masuk adalah :

Arus yang keluar adalah :

I1 + I4 = 5 + I4

3 = 5 + I4

I4 = 3 – 5

I4 = -2

Karena nilai yang didapatkan adalah nilai negatif, ini berbeda dengan asumsi kita sebelumnya, berarti arus I4 yang sebenarnya adalah arus masuk.

E.HUKUM KIRCHOFF 2

Berapakah kekuatan arus yang mengalir dalam sebuah rangkaian arus listrik jika R1 = 2 Ώ, R2 = 4 Ώ, dan R3 = 6 Ώ.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, Gunakan Hukum Kirchoff 2.
Untuk langkah yang pertama, Tentukan arah arus dan loopnya.
Lalu kemudian arahkan loop searah dengan arah berputarnya jarum jam.

(R1 – E1) + ɩ (R2) + ɩ (R3 + E2) = 0

(R1 +R2 + R3 + (E1– E2) = 0

(2Ώ + 4 Ώ + 6 Ώ) + 3V – 9V = 0

12 ɩ – 6V = 0

12 = 6V Maka ɩ ialah 0.5 A

F. ELEMEN AKTIF

Elemen aktif adalah elemen yang menghasilkan  energi, pada mata kuliah Rangkaian Listrik yang akan dibahas pada elemen aktif adalah sumber tegangan dan sumber arus. Pada pembahasan  selanjutnya  kita akan membicarakan  semua yang berkaitan dengan elemen atau komponen ideal. Yang dimaksud dengan kondisi ideal disini adalah bahwa sesuatunya berdasarkan dari sifat karakteristik dari elemen atau komponen tersebut dan tidak  terpengaruh  oleh  lingkungan  luar.  Jadi  untuk  elemen  listrik  seperti  sumber tegangan,  sumber  arus,  kompone  R,  L,  dan  C  pada  mata  kuliah  ini  diasumsikan semuanya dalam kondisi ideal.

1.   Sumber Tegangan (Voltage Source)

Sumber tegangan ideal adalah suatu sumber yang menghasilkan tegangan yang tetap, tidak tergantung pada arus yang mengalir pada sumber tersebut, meskipun tegangan tersebut merupakan fungsi dari t.

Sifat lain :

Mempunyai nilai resistansi dalam Rd = 0 (sumber tegangan ideal)

a.   Sumber Tegangan Bebas/ Independent Voltage Source

    Sumber yang menghasilkan  tegangan  tetap tetapi mempunyai  sifat khusus yaitu  harga  tegangannya       tidak  bergantung  pada  harga  tegangan  atau  arus lainnya, artinya nilai tersebut berasal dari sumbet tegangan dia sendiri. Simbol :

b.   Sumber Tegangan Tidak Bebas/ Dependent Voltage Source

Mempunyai   sifat  khusus  yaitu  harga  tegangan  bergantung  pada  harga tegangan atau arus lainnya.

Simbol :

2.   Sumber Arus (Current Source)

Sumber  arus  ideal  adalah  sumber  yang  menghasilkan  arus  yang  tetap,  tidak bergantung pada tegangan dari sumber arus tersebut.

Sifat lain :

Mempunyai nilai resistansi dalam Rd = ∞ (sumber arus ideal)

a.   Sumber Arus Bebas/ Independent Current Source

Mempunyai  sifat  khusus  yaitu  harga  arus  tidak  bergantung  pada  harga tegangan atau arus lainnya.

Simbol :

b.   Sumber Arus Tidak Bebas/ Dependent Current Source

Mempunyai sifat khusus yaitu harga arus bergantung pada harga tegangan atau arus lainnya.

Simbol :

CONTOH SOAL :

Tentukan daya pada rangkaian elemen di bawah ini :

Jawab :

P1 = I x V

P1 = 8 x 4

P1 = 32 watt

P2 = I x V

p2 = 4 x 8

P2 = 32 watt

G. ELEMEN PASIF

1.   Resistor (R)

Sering  juga  disebut  dengan  tahanan,  hambatan,  penghantar,  atau  resistansi dimana resistor mempunyai fungsi sebagai penghambat arus, pembagi arus , dan pembagi tegangan.

Nilai   resistor   tergantung   dari   hambatan   jenis   bahan   resistor   itu   sendiri

(tergantung dari bahan pembuatnya),  panjang dari resistor itu sendiri dan luas penampang dari resistor itu sendiri.

Secara matematis :

R = ρ  l  A

dimana : ρ = hambatan jenis

l = panjang dari resistor

A = luas penampang

Satuan dari resistor : Ohm ( Ω)

Jika suatu resistor dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung dari resistor tersebut akan menimbulkan beda potensial atau tegangan. Hukum yang didapat dari percobaan ini adalah: Hukum Ohm.

Mengenai pembahasan dari Hukum Ohm akan dibahas pada bab selanjutnya.

VR  = IR

contoh :
Resistor R1, R2, R3 dan R4  tersusun secara seri dengan tegangan 15 Volt. Jika besar masing-masing resistor adalah 1 kohm, 2 kohm, 4 kohm dan 8 kohm, Hitunglah besar Resistor?

Pembahasan :

Diketahui:

R1 = 1 kohm

R2 = 2 kohm

R3 = 4 kohm

R4 = 8 kohm

Vt = 15 Volt (Vt adalah Tegangan Total Rangkaian)

Ditanya :

Hitungalah Hambatan Total Resistor Yang Tersusun Secara Seri

Rs = R1 + R2 + R3 + R4

Rs = 1 kohm + 2 kohm + 4 kohm + 8 kohm = 15 kohm

2.   Kapasitor (C)

Sering  juga  disebut  dengan  kondensator  atau  kapasitansi.  Mempunyai  fungsi untuk membatasi arus DC yang mengalir pada kapasitor tersebut, dan dapat menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.

Nilai suatu kapasitor tergantung dari nilai permitivitas bahan pembuat kapasitor, luas penampang dari kapsitor tersebut dan jarak antara dua keping penyusun dari kapasitor tersebut.

Secara matematis :

C = ε  A/d

dimana : ε = permitivitas bahan

             A = luas penampang bahan d = jarak dua keping

Satuan dari kapasitor : Farad (F)

Jika  sebuah  kapasitor  dilewati  oleh  sebuah  arus  maka  pada  kedua  ujung kapaistor tersebut akan muncul beda potensial atau tegangan, dimana secara matematis dinyatakan :

ic  =C dvc/ dt

Penurunan rumus :

 Q = CV 

dq = Cdv dim ana :

   i =  dq/dt

dq = i.dt

sehingga :

i.dt = Cdv

    i = C  dv/dt

Dari  karakteristik   v  -  i,  dapat  diturunkan  sifat  penyimpanan   energi  pada kapasitor.

   p =  dw/dt

dw = p.dt

∫ dw = ∫ p.dt

w = ∫ p.dt = ∫ vi.dt = ∫ vC dv dt = ∫ Cvdv

Misalkan : pada saat t = 0 maka v = 0 

                pada saat t = t maka v = V

Jika kapasitor dipasang tegangan konstan/DC, maka arus sama dengan nol. Sehingga kapasitor bertindak sebagai rangkaian terbuka/ open circuit untuk tegangan DC.

CONTOH SOAL :

Perhatikan rangkaian 3 buah kapasitor di hubungkan seri paralel di bawah ini ! berapa farad nilai kapasitas penggantinya jika di ketahui :

C1 = 70

C2 = 35

C3 =  60

Jawab :

Kerjakan seri terlebih dahulu

1/Cs       =  1/C1 + 1/C2

               = 1/70 + 1/35

               = (1+2)/70

CS           =70/3

CS           = 23.3  

Ct           = CS+C3

               = 23.3 +  60

               = 83.3

3.   Induktor/ Induktansi/ Lilitan/ Kumparan (L)

Seringkali  disebut  sebagai  induktansi,  lilitan,  kumparan,  atau  belitan.  Pada induktor   mempunyai   sifat  dapat  menyimpan   energi  dalam  bentuk   medan magnet.

Satuan dari induktor : Henry (H)

Arus yang mengalir pada induktor akan menghasilkan fluksi magnetik ( φ ) yang membentuk  loop  yang  melingkupi  kumparan.  Jika  ada  N  lilitan,  maka  total fluksi adalah :

λ = LI

L =  λ/I

v =  dλ/dt = L di/dt

Dari karakteristik v-i, dapat diturunkan sifat penyimpan energi pada induktor.

p =  dw dt

dw = p.dt

∫ dw = ∫ p.dt

w = ∫ p.dt == ∫ vi.dt = ∫ L di i.dt = ∫ Li.di

Misalkan : pada saat t = 0 maka i = 0 

                 pada saat t = t maka i = I

Jika  induktor  dipasang  arus  konstan/DC,  maka  tegangan  sama  dengan  nol. Sehingga induktor bertindak sebagai rangkaian hubung singkat/ short circuit.

contoh soal :

Diperlukan nilai induktansi sebesar 15mH pada rating arus 2A,bagaimana cara menghitung nilai inductor untuk memperoleh nilai yang diharapkan tersebut?

Jawab :

Dua buah inductor dengan ukuran masing-masing 35mH (15x2)

L=(L1XL2)/(L1+L2)

L=(35mHx35mH)/(35+35)

L=1.225 x 70

L= 20mH